Рішення СЛАР методом Гауса

Метод Гаусса — найбільш потужний і універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь. Як ми пам’ятаємо, правило Крамера та матричний метод непридатні в тих випадках, коли система має нескінченно багато рішень або несумісна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадку приведе нас до відповіді!

Послідовно виключаємо змінну за змінною, поки в одному з рядків не буде однозначно визначена змінна xi. Ідею можна проілюструвати на простому прикладі:
x1 — x2 = 3
-x1 + 2×2 = 1
=========== (Складаємо рядка)
-x2 + 2×2 = 3 + 1 = 4 або x2 = 4
Звідки, x1 = 7

Дізнатися докладніше про математичне програмування в середовищі delphi, а також про теоретичну частину рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь різними методами можна на сайті mathros.net.ua.

Суть методу Гауса можна зрозуміти на простому прикладі.

ПРИКЛАД. Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:

2   -1    0   0
-1    1    4    13
1     2   3   14

Далі множимо 2-ий рядок на (2) і додаємо до першої:

0    1    8    26
-1     1    4    13
1    2    3    14

Додамо 3-й рядок до 2-ого:

0     1    8   26
0    3    7    27
1    2    3    14

Помножимо перший рядок на (3), 2-й рядок множимо на (-1). Наступна дія: складаємо першу і другу рядки:

0    0   17    51
0    3    7     27
1    2    3     14

Тепер вихідну систему можна записати як:
x3 = 51/17
x2 = [27 — 7×3] / 3
x1 = [14 — (2×2 + 3×3)]
З 1-ої рядка висловлюємо x3: 51/17 = 3
З 2-го рядка висловлюємо x2: (27 — 7 * 3) / 3 = 2
З 3-го рядка висловлюємо x1: (14 — 2 * 2 — 3 * 3) = 1

Метод Гаусса є досить простим методом при невеликій кількості змінних і дозволяє знайти досить точне значення. Для його освоєння досить базових математичних знань. Необхідно вміти складати і множити!
Процес відшукання змінних можна спростити, якщо кожен раз сортувати стовпці по зростанню.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.